Togliatti-Flächen

Seit 1940 weiß man von der Existenz von Flächen vom Grad fünf (Quintiken) mti 31 gewöhnlichen Doppelpunkten. Der italienische Mathematiker Euginio G. Togilatti (1890-1977) konstruierte Sie nach folgendem Verfahren:

Man nehme eine projektive Vierfaltigkeit

Y vom Grad drei, welche 15 gewöhnliche Doppelpunkte besitzt, beispielsweise

`Y`={4(`x`₀³+`x`₁³+`x`₂³+`x`₃³+`x`₄³+`x`₅³)-(`x`₀+`x`₁+`x`₂+`x`₃+`x`₄+`x`₅)³=0}

Sodann projiziert man Y aus einer allgemein gewählten Gerade L auf Y auf einen P₃, welcher L nicht schneidet. Wählen wir einen Punkt R im P₃ allgemein, und bezeichnet E die von R und L aufgespannte Ebene, so zerfällt die Schittkurve C=E.Y in eine Gerade (nämlich L) und einen nichtentarteten Kegelschnitt Q. Dann definiert

`X`={`R` im P³ : `Q` entartet }

eine Quintik, welche für allgemeine Wahl von L genau 31 gewöhnliche Doppelpunkte besitzt.

Leider hatte Togliatti keine expliziten Beispiele angegeben. Erst 1994 hat D. van Straten eine dreidimensionale Familie von Beispielen konstruiert. 1978 zeigte A. Beauville neben $µ(5)=31$ auch, daß jede Quintik mit 31 gewöhnlichen Doppelpunkten aus Togliatti's Konstruktion gewonnen werden kann. Ein schönes Beispiel einer solchen Fläche wurde 1995 von W. Barth angegeben:

$X5 = {64(x-w)[x^4-4x^3w-10x^2y^2-4x^2w^2+16xw^3-20xy^2w+5y^4+16w^4-20y^2w^2] -5sqrt(5-sqrt(5))(2z-sqrt(5-sqrt(5))w) [4(x^2+y^2+z^2)+(1+3sqrt(5))w^2]^2 = 0}$

[Bild von X5 (120x120 Pixel)] 34K

X₅ ist invariant unter der Symmetriegruppe des Fünfecks D₅. Es liegen genau 15 Geraden auf X₅: fünf Geraden bilden genau die Schnittmenge von X₅ mit einem D₅-invarianten Kegel, welcher 16 Doppelpunkte enthält. Weitere fünf Geraden sind genau die Schnittmenge von X₅ mit einer D₅-invarianten Ebene, welche durch 10 Doppelpunkte führt. Die letzten fünf Geraden sind widerum die Schnittmenge von X₅ mit einer D₅-invarianten Ebene, welche aber keine Doppelpunkte von X₅ enthält.

Stephan Endraß

Letzte Änderung: Thursday, 06-Feb-2003 08:54:13 CET

Home: Arbeitsgruppe Algebraische Geometrie,
Institut für Mathematik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz