Oktiken mit 168 Doppelpunkten

Unter massiver Zuhilfenahme des Computeralgebrasystems Maple V hat S. Endraß 1995 die Gleichungen zweier Flächen vom Grad acht (Oktiken)

X₈ und

X₈' hergeleitet, welche beide 168 gewöhnliche Doppelpunkte besitzen. Hierbei sind alle 168 Doppelpunkte von

X₈ reell, während

X₈' 24 komplexe Doppelpunkte besitzt.

$X8 = {64(x^2-w^2)(y^2-w^2)((x+y)^2-2w^2)((x-y)^2-2w^2) -[a(x^2+y^2)^2+(bz^2+cw^2)(x^2+y^2)-16z^4+dz^2w^2+fw^4]^2 = 0}, a = -4(1+sqrt(2)), b = 8(2+sqrt(2)), c = 2(2+7sqrt(2)), d = 8(1-2sqrt(2)), f = -(1+12sqrt(2))$

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$X8' = {64(x^2-w^2)(y^2-w^2)((x+y)^2-2w^2)((x-y)^2-2w^2) -[a(x^2+y^2)^2+(bz^2+cw^2)(x^2+y^2)-16z^4+dz^2w^2-fw^4]^2 = 0}, a = -4(1-sqrt(2)), b = 8(2-sqrt(2)), c = 2(2-7sqrt(2)), d = 8(1+2sqrt(2)), f = -(1-12sqrt(2))$

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X₈ und X₈' sind nicht projektiv isomorph und teilen folgende Eigenschaften: Sie sind invariant unter der Gruppe D₈xZ₂ und wurden in einer fünfdimensionalen Familie von Oktiken mit 112 Doppelpunkten gefunden. Sie sind achtfache Überlagerungen von Quartiken mit 13 gewöhnlichen Doppelpunkten unter der Abbildung $(x:y:z:w)|-->(x$ ²:y²:z²:w²). Um die Gleichungen zu finden mußte ein System von 5 Gleichungen vom Grad bis zu 12 gelöst werden. Die doppelte Überlagerung des P₃, welche über X₈ (bzw. X₈') verzweigt ist (Double Solid), ist eine Calabi-Yau Dreifaltigkeit mit Defekt 19.

Stephan Endraß

Letzte Änderung: Thursday, 06-Feb-2003 08:56:52 CET

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Institut für Mathematik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz